过点$(2,-1,3)$,与直线$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{2}$相交且垂直.求该直线方程.

解：直线$l_1$的方向向量为$(-1,0,2)$.与方向向量垂直的向量设为

$(x_0,y_0,z_0)$.则

\begin{equation}

  -x_0+2z_0=0

\end{equation}

设$l_2$为满足条件的直线.则$l_2$的方程为

\begin{equation}

  \frac{x-2}{x_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}

\end{equation}

即$l_2$的方程为

\begin{equation}

  \frac{x-2}{2z_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}

\end{equation}

且两直线相交，则

\begin{equation}

  \begin{cases}

    2z-x=4\\

2x+z=4\\

  \end{cases}

\end{equation}

解得$z=\frac{12}{5}$,$x=\frac{4}{5}$.因此两直线的交点为

$(\frac{4}{5},0,\frac{12}{5})$.易得

\begin{equation}

  \begin{cases}

    3y_0=-5z_0\\

x_0=2z_0\\

  \end{cases}

\end{equation}

因此直线$l_2$的方程为

\begin{equation}

    \frac{x-2}{6}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-3}{3}

\end{equation}